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详解:自由落体运动是最速降线的极限情况

编辑:木木(收徒)来源:网友投稿更新时间: 22-12-14 13:57:45

自由落体运动,物体仅受重力的作用,沿着竖直线下落。

早在万历年间(1572-1620),伽利略就通过比萨斜塔实验,发现了自由落体定律。

1685年,牛顿在“自然哲学的数学原理”中,提出了牛顿三大定律。

根据牛顿第二定律,mg = ma,自由落体加速度 = 重力加速度g。

(自由落体加速度表达的是惯性,重力加速度表达的是引力)

自由落体运动的速度 v = gt,位移 s = 1/2 gt^2.

如果下落的起点与终点之间的高度差为y的话,那么所需要的时间 t = (2y/g)^0.5。

起点与终点在一条竖直线上,不需要微积分,只用简单的二次代数方程就可以算出来。

但是,如果起点和终点不在一条竖直线上,这个问题就会变得很复杂,甚至在1696年被伯努利拿来考验牛顿

这就是最速降线问题。

1,最速降线问题,

最速降线问题

如图,不管在不在一条竖直线上,根据能量守恒定律,速度的值都是 v = (2gy)^0.5。

速率与x坐标是没关系的,因为重力做功只和高度差有关,与路径无关。

只是不在一条竖直线上时,速度的方向是变化的。

但不在一条竖直线上时,曲线的切线方向也是变化的。

并且,速度的方向始终沿着曲线的切线方向,所以它依然是个均匀加速的问题。

只是这么稍微一偏之后,就得使用微积分了:

而且,就算使用了微积分之后,问题依然不好解决。

两点之间的直线只有一条,但两点之间的曲线有无数条。

到底哪一条曲线是最节省时间的?

2,反证法、微扰论,

首先,最节省时间的曲线一定是光滑的,不可能是波纹状的。

因为,在非常微小的间隔内,速度可以认为是近似不变的,而波纹状曲线比光滑曲线具有更大的弧长。

显然,ds = vdt,波纹状的ds更大,所以肯定更费时间。

所以,最速降线的一阶导数肯定是连续变化的,而且一阶导数不能有极值点,也就是说二阶导数不能有零点。

否则,就成了波纹线了:只要把它稍微取直,花费的时间就会减少。

波纹线肯定不是最速降线

为了求出最速降线,我们假设已经求出了最速降线!

那么,只要曲线稍微有一点变动,时间就会增大。

这个方法就跟一元一次方程一样:要求某个未知数,就先设个未知数,假设它已经求出来了,然后让它直接参与运算

假设最速降线已经求出来了,任何微小的改变都会让时间增大,所以最速降线是时间的极小值:

可以把 叫做y(x)的微小扰动,所以这种方法一般叫做微扰论,实际上就是反证法。

那么在微扰之后就变成了

时间t的改变量是微扰前后L的差对dx的积分。

在获得最优解的情况下,时间t的改变量应该为0,这种方法叫做变分法。

欧拉-拉格朗日方程的推导,左侧

如果只把L按照y和y的一阶导数展开,计算结果就是大名鼎鼎的欧拉-拉格朗日方程。

上图的左侧,就是欧拉-拉格朗日方程的推导过程(之前发过)。

上图的右侧,是把最速降线的公式代进去之后的结果:

如下图,化简之后,获得最速降线的微分方程 2yy y ^2 1 = 0.

微分方程的求解

解出来之后,获得x和y的参数方程,就是最速降线的解析式。

还可以进一步求出时间t的代数表达式来,如下图:

时间t的表达式

可得

3,极限推理,

当起点-终点所在的两条竖直线极为接近的情况下:

最速降线趋近于直线,角度参数趋近于0,

正弦函数约等于角度:

(当x趋向于0时,sinx / x趋向于1)

也可以从x的参数方程看出来:

所以

也就是说:

t = (2y/g)^0.5,

y = 1/2 gt^2.

这与自由落体运动的位移时间公式是一样的。

所以,自由落体运动是最速降线的极限情况。

自由落体是最速降线的极限情况

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